|
Hafta
|
Konular
|
Ön Hazırlık
|
|
1
|
Cebir ve geometri arasındaki bağlantı, polinomlar ve afin uzay; afin varyetenin tanımı, örnekleri ve temel özellikleri
|
|
|
2
|
Afin varyetelerin parametrizasyonları, bir afin varyetenin ideali ve varyete ile ideali arasındaki ilişkiler
|
|
|
3
|
k cismi üzerindeki n-değişkenli polinom halkasının tek terimlilerinin sıralanması problemi ve sıralama örnekleri, tek değişkenli polinomlardaki bölme algoritmasının çok değişkenli polinomlara genelleştirilmesi
|
|
|
4
|
Monom idealler ve Dickson lemması, Hilbert baz teoremi
|
|
|
5
|
İdeallerin Groebner bazı ve özellikleri
|
|
|
6
|
Bir idealin Groebner bazının bulunması problemi, Buchberger algoritması, Groebner bazının ilk uygulamaları
|
|
|
7
|
Eliminasyon ve genişletme teoremleri, eliminasyonun geometrisi ve kapanış teoremi
|
|
|
8
|
Parametrik olarak verilmiş bir varyeteyi tanımlayan eşitliklerin bulunması problemi (implicitization)
|
|
|
9
|
Bir eğrinin tekil noktaları, bir eğriler ailesinin zarfı
|
|
|
10
|
İndirgenemeyen polinomlar, tek çarpanlama ve bileşkeler (resultants)
|
|
|
11
|
Bileşkelerin kullanımıyla genişletme teoreminin ispatı
|
|
|
12
|
Hilbert Nullstellensatz, radikal idealler ve ideal-varyete eşleşmesi
|
|
|
13
|
İdeallerin toplamı, çarpımı, kesişimi, afin uzaydaki bir kümenin Zariski kapanışı, ideallerin bölümü
|
|
|
14
|
İndirgenemeyen varyeteler ve asal idealler, bir varyetenin indirgenemez varyetelere ayrışımı
|
|
|
Ön Koşul
|
-
|
|
Ders Dili
|
Türkçe
|
|
Dersin Sorumlusu
|
Yrd. Doç. Dr. Celalettin KAYA
|
|
Dersi Verenler
|
-
|
|
Ders Yardımcıları
|
İlgili anabilim dalının öğretim üyeleri
|
|
Kaynaklar
|
[1] Ideals, Varieties, and Algorithms (4th Edition), David Cox, John Little, Donal O`Shea, Springer-Verlag, New York, 2015.
[2] Undergraduate Algebraic Geometry, Miles Reid, Cambridge University Press, London, 1992.
|
|
Yardımcı Kitap
|
1. An Invitation To Algebraic Geometry, Karen E. Smith, Lauri Kahanpää, Pekka Kekäläinen, William Traves, Springer-Verlag, New York, 2010.
|
|
Dersin Amacı
|
Afin cebirsel geometrinin ve değişmeli cebirin temel kavramlarını öğreterek geometri ve cebir arasındaki ilişkinin gösterilmesidir.
|
|
Dersin İçeriği
|
Cebir ve geometri arasındaki bağlantı, polinomlar ve afin uzay; Afin varyeteler; Afin varyetelerin parametrizasyonları, bir afin varyetenin ideali; k cismi üzerindeki n-değişkenli polinom halkasının tek terimlilerinin sıralanması problemi ve bu halka üzerinde bir bölme algoritması; Monom idealler ve Dickson lemması, Hilbert baz teoremi; Groebner bazların özellikleri; Bir idealin Groebner bazının bulunması problemi, Buchberger algoritması, Groebner bazının ilk uygulamaları; Eliminasyon ve genişletme teoremleri, eliminasyonun geometrisi ve kapanış teoremi; Parametrik olarak verilmiş bir varyeteyi tanımlayan eşitliklerin bulunması problemi (implicitization); Bir eğrinin tekil noktaları, bir eğriler ailesinin zarfı; İndirgenemeyen polinomlar, tek çarpanlama ve bileşkeler (resultants); Bileşkelerin kullanımıyla genişletme teoreminin ispatı; Hilbert Nullstellensatz, radikal idealler ve ideal-varyete eşleşmesi; İdeallerin toplamı, çarpımı, kesişimi, afin uzaydaki bir kümenin Zariski kapanışı, ideallerin bölümü; İndirgenemeyen varyeteler ve asal idealler, bir varyetenin indirgenemez varyetelere ayrışımı.
|
|
Program Yeterlilik Çıktıları |
Katkı Düzeyi |
|
1
|
Matematik alanında edindiği bilgileri uzmanlık düzeyinde geliştirir ve derinleştirir.
|
5
|
|
2
|
Matematik alanında edindiği uzmanlık düzeyindeki kuramsal ve uygulamalı bilgiyi kullanır.
|
5
|
|
3
|
Matematik alanında edindiği bilgileri diğer alanlarla ilişkilendirerek disiplinler arası çalışmalar gerçekleştirir.
|
3
|
|
4
|
Matematik alanında karşılaştığı problemleri edindiği araştırma yöntemlerini kullanarak çözümler.
|
4
|
|
5
|
Matematik alanında uzmanlık gerektiren bir çalışmayı bağımsız olarak yürütür.
|
5
|
|
6
|
Uygulamalarda karşılaşabileceği sorunların çözümü için farklı yaklaşımlar geliştirir ve sorumluluk alarak çözüm üretir.
|
5
|
|
7
|
Edindiği uzmanlık düzeyindeki bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirir ve öğrenme sürecine yön verir.
|
3
|
|
8
|
Matematik alanındaki güncel araştırmaları ve kendi çalışmalarını alanındaki ve alan dışındaki gruplara, yazılı, sözlü ve görsel olarak aktarır.
|
5
|
|
9
|
Matematik alanı ile ilgili bilgisayar yazılımı ve bilişim teknolojilerini ileri düzeyde kullanır.
|
-
|
|
10
|
Matematik alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, uygulanması ve duyurulması aşamalarında toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik değerleri gözetir ve denetler.
|
4
|